Soit \((F_n)_n\) la suite de Fibonacci, i.e. La suite telle que \(F_0=0\), \(F_1=1\) et $$\forall n\geqslant1,\qquad F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$$ trouver une approximation de \(F_n\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\)
Écriture sous forme de matrices
On a $$\begin{pmatrix} F_{n+1}\\ F_n\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix} F_1\\ F_0\end{pmatrix}\quad\text{ avec }\quad A=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&0\end{pmatrix}$$
Factorisation de polynôme caractéristique pour chercher les valeurs propres
On a $$P(\lambda)=\lambda^2-\lambda-1=\left(\lambda-\frac{1-\sqrt5}2\right)\left(\lambda-\frac{1+\sqrt5}2\right)$$
Pour chaque valeur propre, donner les vecteurs propres
On calcule les vecteurs propres grâce à l'algorithme du compagnon : $$\varepsilon_1=\begin{pmatrix}\frac2{1-\sqrt5}\\ 1\end{pmatrix}\quad\text{ et }\quad\varepsilon_2=\begin{pmatrix}\frac2{1+\sqrt5}\\ 1\end{pmatrix}$$
On cherche \(x_1,x_2\) tels que $$\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}\frac{1-\sqrt5}2\\ 1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}\frac{1+\sqrt5}2\\ 1\end{pmatrix}$$ $$\begin{cases} x_1\frac{1-\sqrt5}2+x_2\frac{1+\sqrt5}2=1\\ x_1+x_2=0\end{cases}$$
\(\implies\) \(-x_1=x_2=\frac{\sqrt5}{5}\)
Écriture du terme général
Donc $$\begin{align} \begin{pmatrix} F_{n+1}\\ F_n\end{pmatrix}&=A^n\begin{pmatrix} F_1\\ F_0\end{pmatrix}\\ &=A^n(x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2)\\ &=x_1\lambda_1^n\varepsilon_1+x_2\lambda^n_2\varepsilon_2\\ &=-\frac{\sqrt5}5\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\begin{pmatrix}\frac{1-\sqrt5}2\\ 1\end{pmatrix}+\frac{\sqrt5}5\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n\begin{pmatrix}\frac{1+\sqrt5}2\\ 1\end{pmatrix}\\ F_n&=-\frac{\sqrt5}{5}\left(\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n+\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n\right)\end{align}$$
Un élément tend vers \(0\) \(\longrightarrow\) on peut le supprimer
Comme $$\lambda_1-\lambda_2=-\sqrt5=\frac{\lambda_1^n}{\lambda_1-\lambda_2}-\frac{\lambda_2^n}{\lambda_1-\lambda_2}$$ $$\lvert\lambda_1\rvert=\left|\frac{1-\sqrt5}2\right|=\left|\frac{\sqrt5-1}2\right|\lt \left|\frac{\sqrt9-1}2\right|=1$$ donc \(\lambda_1^n\longrightarrow0\)
Conclusion²
On a donc $$F_n\simeq\frac{\sqrt5}5\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n$$
(Polynôme caractéristique d'une matrice - Polynôme associé à une matrice, Vecteur propre - Valeur propre - Elément propre, Matrice augmentée - Algorithme du compagnon)